طبق توريشلي مبدأ السقوط الحر للأجسام على حركة السوائل المندفعة عبر فتحة تفريغ أسفل خزان و منه استنبط معادلة سرعة تدفق سائل ما عبر فتحة التفريغ أسفل الخزان.
يمكن استخراج معادلة توريشيلي لسرعة تدفق سائل داخل خزان عن طريق مبدأ حفظ الطاقة، لنفترض أن لدينا كتلة من السائل مقدارها m وعلى ارتفاع h فوق فتحة التفريغ، هذه الكتلة تملك طاقة كامنة ناتجة عن تأثير الجاذبية مقدارها :
(1) ... Pₚ = mgh
- Pₚ : الطاقة الكامنة (Joules)
- m: الكتلة (kg)
- g: تسارع الجاذبية (m/s²)
- h : الإرتفاع على فتحة التفريغ (m)
نفس مقدار الكتلة من السائل و أثناء مروره عبر فتحة التفريغ تتحول الطاقة الكامنة إلى طاقة حركية مقدارها:
(2)... Pₖ = 1/2 mV²
- Pₖ: الطاقة الجركية
- m: الكتلة (kg)
- V: السرعة (m/s)
و اعتمادا على مبدأ حفظ الطاقة يمكن استخراج سرعة تدفق السائل في فتحة التفريغ أو ما يعرف بمعادلة توريشيلي:
\[ mgh = \frac{1}{2} mV^{2}\]
\[ V=\sqrt{2gh}\]
قد تجد في بعض المراجع طريقة أخرى لاستخراج قاعدة توريشلي إنطلاقة من مبدأ برنولي لتدفق السوائل و النتيجة تكون نفسها.
حساب زمن تفريغ خزان:
في لحظة زمنية منتناهية في الصغر(dt) ينزل مستوى الماء في الخزان بمقدار (dh) و بالتالي فإن حجم الماء الذي نقص من الخزان هو :
V = A . dh
يمكن أن نعبر عن ذات الكمية من الماء أثناء عبورها في فتحة التفريغ في نفس اللحظة الزمنية بالصيغة:
V = a.dx
حيث:
- A: مساحة المقطع العرضي للخزان
- dh: إنخفاض مستوى الخزان
- a: مساحة المقطع العرضي لفتحة التفريغ
- dx: المسافة المقطوعة للسائل في فتحة التفريغ
وبما أن السرعة هي المسافة المقطوعة على الزمن فإنه يمكن التعبير عن سرعة تدفق السائل خلال فتحة التفريغ بالصيغة التالي:
\[ V = \frac{dx}{dt} = - \frac{Adh}{adt}\]
الإشارة السالبة في الصيغة للدلالة على إنخفاض مستوى السائل في الخزان.
نقوم الآن بتعويض قيمة سرعة السائل حسب قانون توريشيلي في الصيغة السابقة:
\[ \sqrt{2gh} = - \frac{Adh}{adt}\]
ومنه نحصل على الزمن اللازم لانخفاض مستوى الخزان بمقدار dh:
\[ dt=\frac{-Adh}{a\sqrt{2gh}}\]
الصيغة السابقة تعطينا تغير الإرتفاع داخل الخزان dh خلال لحظة زمنية dt، حيث المتغير الرئيسي في المعادلة هو الإرتفاع h، وللحصول على الزمن اللازم T لإنخفاض مستوى الخزان من H1 إلى H2 نقوم بحساب تكامل متغيري الصيغة وهما الزمن من 0 إلى T و الإرتفاع من H1 إلى H2.
لتبسيط العملية ندمج جميع الثوابت في ثابت واحد هو k.
\[ dt= -k\frac{dh}{\sqrt{h}}\]
نقوم الآن بعملية التكامل:
\[ \int_{O}^{T} =-k\int_{H1}^{H2}\frac{dh}{\sqrt{h}}\]
\[ T=-k(2\sqrt{H2}-2\sqrt{H1})\]
\[ T=2k(\sqrt{H1}-\sqrt{H2})\]
بتعويض k بقيمتها الأصلية نحصل على الصيغة العامة لزمن تفريغ خزان من الإرتفاع H1 إلى الإرتفاع H2.
\[ T=\frac{A}{a}\sqrt{\frac{2}{g}}(\sqrt{H1}-\sqrt{H2})\]
معامل التصحيح Discharge coefficient:
من جانب عملي تجريبي تكون سرعة التدفق أقل من القيمة النظرية و ذلك لعاملين أساسيين و هما شكل فتحة التفريغ و لزوجة السائل، غالبا يتم معرفة تأثير هذين العاملين عبر تجارب عملية.
و لتصحيح تأثير الإحتكاك بفتحة التفريغ تمت إضافة معامل تصحيح Cd قيمته أقل من 1يتعلق أساسا بشكل فتحة التفريغ لتصبح الصيغة:
\[ T=\frac{A}{aCd}\sqrt{\frac{2}{g}}(\sqrt{H1}-\sqrt{H2})\]
في الصورة أسفله دليل مبسط حول كيفية تحديد قيمة Cd:
أما بالنسبة لزيادة الزمن الناتج عن لزوجة السائل فإنه كلما كانت لزوجة السائل أقرب إلى الماء لا يكون هناك تأثير كبير على زمن التفريغ، أما إذا كان السائل أكثر لزوجة فإنه يتم إضافة معامل تصحيح آخر يتم حسابه غالبا بطرق تجريبية.
بعبارة أخرى فأن معامل التصحيح (Discharge coefficient) هو النسبة بين القيمة التجريبية لسرعة التدفق و القيمة النظرية.
زمن تفريغ الخزان كاملا:
و لحساب زمن إفراغ الخزان كاملا يكفي تعويض H2 بصفر لنحصل على الصيغة العامة لزمن تفريغ خزان:
\[ T=\frac{A}{a.Cd}\sqrt{\frac{2}{g}}H\]
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق